以下内容摘自《代数的历史》，有助于我继续思考科学、数学和哲学的关系…
早期的数学与哲学
“代数之父”丢番图生活在公元 1 世纪、2 世纪或 3 世纪的古罗马帝国统治下的古埃及亚历山大城…丢番图到底是不是代数之父，这正是律师所谓的“难以决定的问题”。一些非常受人尊敬的数学史学家都否认这一点。比如，在《科学传记大辞典》中，库尔特·沃格尔认为丢番图的工作并不比古巴比伦人和阿基米德（公元前 3 世纪，见下文）的工作更代数化，并得出结论：“丢番图肯定不是人们通常称的代数之父。”范德瓦尔登把代数的起源向后推迟了一段时间，他认为数学家花拉子密（780—850）才是代数之父。花拉子密比丢番图晚 600 年，我们将在第 3 章介绍他。此外，现在的本科生所学的被称为“丢番图分析”的数学分支通常作为数论课程的一部分，而不在代数课程里讲授。下面我将讲述丢番图的工作，并对此提出我自己的观点，你们可以做出自己的判断。 …在丢番图之前，古希腊数学主要研究几何，这是古希腊数学的特点。对此，通常给出的理由在我看来颇有一番道理，这个理由是毕达哥拉斯学派（公元前 6 世纪晚期）信奉可以在数的基础上建立数学、音乐和天文学的观点，但是无理数的发现困扰着毕达哥拉斯学派，所以他们将兴趣从算术转向几何，因为算术中似乎包含一些无法描述的数，但这样的数在几何中却可以准确无误地用线段的长度来表示。 …我们注意到丢番图，是因为他写了一部题为《算术》的著作，这部著作只有不到一半流传到现在。现存的主要部分包括 189 个问题，其目标是寻找满足一定条件的一个数或一组数。在这部著作的引言里，丢番图概述了他的字母符号体系和方法。…正是因为他的字母符号体系——用特殊的字母符号表示未知量、未知量的幂、减法和相等。当我第一次看到丢番图用自己的符号写出的方程时，我的第一反应可能和你一样：“他说的是啥？”不过，在看过他的一些问题之后，我很快就熟悉了他的字母符号体系，甚至能够不假思索地快速阅读丢番图的方程。
丢番图生活的年代（约 200—284），当时的古埃及是罗马帝国的一个省，古罗马正处于衰亡时期，也就是爱德华·吉本（1737—1794）在《罗马帝国衰亡史》中花费大量笔墨描述的那段时期。那本书中的第 7 章详细描述了那个时代（如果丢番图生活在那个时代）的悲惨状况。 罗马帝国在 3 世纪后期有所恢复。戴克里先（284～305 年在位）和君士坦丁（306～337 年在位）是两位伟大的古罗马皇帝。君士坦丁的母亲据传是一位基督教徒，他发布了米兰敕令（313 年），宣告了基督教的合法化，并在临终时接受了基督教洗礼。从起初对基督教的宽容到随后强制推行基督教的决策，都无法阻止罗马帝国的衰亡。在某种程度上说，这也许加速了罗马帝国衰亡的进程。早期基督教最大的优点之一是它面向所有阶层。然而，为了做到这一点，它必须使用吸引人但复杂的形而上学理论来“收买”世故的城市知识分子，同时利用简明而直白的救世和神权的信条来维持对大众的控制，并利用五花八门的传闻或者对某些根深蒂固的异教信仰做出让步来加强控制。不过，大众仍然会通过各种途径察觉到对这些高深的形而上学理论的争论，并利用它们发泄对社会或种族不满的情绪。
希帕提娅是数学史上第一位女性数学家。她的所有著作都丢失了，我们只能通过传说来了解她。从这点来说，我们很难判断她是否是一位重要的数学家。但无论如何，她肯定是一位重要的学者。她在缪斯神庙授课（她的父亲塞昂是神庙的最后一任馆长），既是教材的编者、编辑，也是教材的保存者，其中就有数学教材。她教授新柏拉图主义哲学，也是该学派的拥护者。这种哲学试图确立在后罗马时代非常缺乏的秩序、正义和和平。据说她非常美丽，而且终生未婚。
新柏拉图主义的创始人普罗提诺是另一位亚历山大人，他很有可能是丢番图的同代人。伯特兰·罗素曾说：“在那些世俗意义上不幸、却决心要在理论世界中寻求一种更高级的幸福的人们中间，普罗提诺占有极高的地位。”新柏拉图主义认为数学至高无上，柏拉图和原始柏拉图学派也都这样认为。后来的一位新柏拉图主义哲学家马里纳斯评论说：“我希望一切都是数学。”
19世纪的数学与哲学
委婉一点儿说，数学小说并不是一个很大或者很突出的文学门类。埃德温·艾勃特别（1838—1926）的《平面国：多维空间传奇往事》（Flatland: A Romance of Many Dimensions）是其中极少数持续畅销的作品之一，该书于 1884 年首次出版，至今仍在重印。
《平面国》是以一个自称为“正方形”的生物的口吻讲述的。事实上，他是一个生活在二维世界“平面国”里的正方形。平面国里居住着各种其他生物，他们是拥有不同程度正规性的平面图形：等腰三角形（两条边相等）、等边三角形（三条边全相等）、正方形、五边形和六边形，等等。这里的社会等级制度如下：拥有的边越多，生物的等级就越高，圆的等级最高；女性只是线段，会受到各种社会限制和歧视。《平面国》的前半部分描述了平面国及其社会的各个阶层。作者用大量篇幅介绍了如何确定一个陌生人在社会中的等级，这是个棘手的问题。因为平面国人的视线是一维的（就像你的视线是二维的一样），他们在视野中看到的对象只有线段，只能通过触摸来确定陌生人的实际形状，然后才能知道其等级。因此，在这个国度，常见的介绍方式是：“请你摸一摸某某阁下。”在那本书的后半部分，正方形探索了其他世界。在梦里，他参观了直线国，这是一个一维的地方，作者用了 11 页来介绍这个国家。因为直线国人永远无法越过其两端的邻居，所以这个物种的繁衍就成了问题，艾勃特用极大的智慧解决了这个问题。正方形醒来后，回到了自己的世界——平面国。不久之后，来自三维世界的一个生物——球——造访了这里，球以一种不稳定的方式或多或少地进入平面国。在正方形看来，球是一个神秘的会伸缩的圆。球与正方形进行了一场哲学对话，球向正方形介绍了单点国——一个零维空间，那里只有一个居民：“他自己就是这个世界的全部，除此之外别无其他。然而，你要留意他那自满十足的样子，从中吸取教训，他的这种沾沾自喜既可恨又无知，他所追求的就是盲目无知的幸福。”我想我们都遇到过这个生物。
《平面国》出版时，艾勃特还不到 46 岁。在 1911 年的《大英百科全书》中，介绍他的词条共有 240 个单词，把他描述成一位“英国校长和神学家”，但没有提及《平面国》。受到基督教的个人观点和对维多利亚时代的社会习俗的怀疑的影响，艾勃特实际上是一位怀有改革和进步思想的男校校长。《平面国》间接而温和地讽刺了当时的社会。
自《平面国》出版以来的 100 多年来，该书吸引了无数读者的关注，激发了他们的想象力。
事实上，这部作品还有一系列著作和故事作为续集。迪奥尼斯·布格尔的《球国：关于弯曲空间和膨胀宇宙的幻想》（Sphereland: A Fantasy About Curved Spaces and an Expanding Universe）和伊恩·斯图尔特的《二维国内外：数宇漫游奇历记》（Flatterland: Like Flatland, Only More So）都是以艾勃特的原创思想为基础的优秀作品。1984 年，杜德尼在《平面世界：与二维世界的一次亲密接触》（The Planiverse: Computer Contact with a Two-Dimensional World）中深入、透彻地研究了二维世界中物理学、化学和生物学的存在性，而在艾勃特的作品中，这类内容很少，而且也不令人信服。虽然文学价值稍低，但也给人留下印象的作品还有鲁迪·拉克（1946— ）的小说《平面国里的消息》（Message Found in a Copy of Flatland），书中的主人公在伦敦的一家巴基斯坦餐厅的地下室中偶然发现了平面国，他最后吃掉了平面国人，这些生物“尝起来有些像水分很多的烟熏鲑鱼”。
这是我非常喜欢的一本书。它妙趣横生，富有想象力，值得一读。例如，二维生物会锁门吗？如果它有一条从身体一端到另一端的消化系统，那么是什么让它没有被分成两部分呢？这个故事取自《数学航行：数学奇闻大观》（Mathenauts: Tales of Mathematical Wonder）——1987 年由拉克编写的数学科幻故事集。这部合集有 23 个故事，我认为其中一半以上的故事都与四维思想有关，根据我的经验，这大约是数学科幻小说的平均水平。
零维空间、一维空间、二维空间和三维空间，为什么到此就停止了呢？也许，大多数非数学专业人士是从韦尔斯出版于 1895 年的小说《时间机器》（The Time Machine）中第一次听说第四维的，这本小说的主人公是这样说的：据说，数学家们研究的空间有三个维度，分别是长度、宽度和厚度，这些维度可以由三个平面来决定，每个平面都与其他两个平面成直角。但是一些哲学人士一直在问为什么要特别考虑三个维度？为什么没有另一个与这三个平面都成直角的方向呢？他们甚至去尝试构造一种四维几何。
四元数
借助一些简单的 i、j、k 相乘的法则，就是哈密顿刻在布鲁姆桥上的那些法则，这些四元组就能构成一个代数。范德瓦尔登在他的著作《代数学的历史》中称这个灵感为“飞跃到第四维”。为了使这个新代数合理，哈密顿必须违反一个基本算术法则——交换律。…正是由于打破了这个法则，才使得四元数的代数意义值得关注，而哈密顿闪现的灵感也成为数学史上最重要的启示之一。从古代的自然数和分数，到无理数和负数，再到复数和 18 世纪及 19 世纪初伟大数学家们想出的模算术，交换律贯穿数系的所有演变，一直被认为是理所当然的。 而今，这里出现了一种似乎可以被认为是数的新数系，它不再满足交换律。
…每一个成年人都知道，当你违反了一条规则以后，你很容易就会再违反其他规则。就和日常生活一样，代数学的发展也是如此。 事实上，哈密顿在 1843 年 10 月 17 日给他的一位数学界的好友约翰·格雷夫斯（1806—1870）的信中描述了四元数。到了同年 12 月，格雷夫斯已经发现了一个八维代数，这是一个后来被称为八元数的数系。然而为了得到它，格雷夫斯不得不放弃另一个算术法则，即乘法的结合律。
我们应该注意到，正是在这个时候，尼古拉·罗巴切夫斯基（1792—1856）和亚诺什·鲍耶（1802—1860）的非欧几里得几何（即“弯曲空间”）开始为人所知（我将在第 13 章中进一步阐述这一点）。康德认为，算术和几何中的法则是人类与生俱来和永恒不变的思维。如果连交换律和结合律这样的基本法则都可以违反，还有什么法则不能违反呢？如果说四元数需要四个维度，谁能说这个世界实际上不是四维的呢？或者，生活在二维平面国中的生物也许存在于某个地方吗？这个世界是四维的吗？在任何简单的几何意义下，这个世界都不是四维的。这里没有“第四个方向”，你不可能离开我们的三维世界移动到这个方向。如果你真的进入四维世界，你会立刻崩溃，因为即使是最简单的物理定律（比如平方反比定律）被搬到四维欧几里得几何中，都会导致非常糟糕的结果。当然，现代物理学的时空用四维几何描述非常方便，但这种几何本质上不是欧几里得几何，所以你应该从头脑中彻底摒弃带着普通的欧几里得几何观点来看它的想法。 不过，人类的想象力是非常奇妙的东西。已故的考克斯特（1907—2002）在他的著作《正多面体》中提到他的朋友约翰·弗林德斯·皮特里：“在精神高度集中的时候，他能够‘看到’复杂的四维图形，从而回答关于它们的问题。”
几何学变革
经典几何中的常见假设，例如三角形的三个角之和等于 180°，也许不是放之四海而皆准的真理，而是可选的公理。通过选择不同的公理，你可以得到不同的几何，这种几何看起来与欧几里得几何完全不同，它是一种非欧几里得几何。 年轻的匈牙利数学家亚诺什·鲍耶也按照相同的思路进行研究。高斯也是如此，1824 年，他在给朋友的一封信中提到：“三角形的内角和小于 180°的假设带来一个古怪的几何，它完全不同于我们的几何，但又与之完全相容……”事实上，高斯考虑这些想法已经好几年了。然而，他是一个珍惜平静生活、避免争议的人，因此从来没有发表过自己的想法。
正如罗巴切夫斯基的经历所表明的那样，这些想法是有争议的。在欧几里得几何的平坦平面（在三维版本中是“平坦”的空间）中，平行线和平行平面永远不相交，其中的三角形的三个内角之和总是等于两个直角之和，它有相似和全等的精妙论证，这些知识都牢牢地根植于欧洲人的意识之中。伊曼努尔·康德（1724—1804）的哲学进一步强化了这个观点，康德在当时的欧洲思想界占据主导地位。康德在 1781 年的著作《纯粹理性批判》中指出，欧几里得几何在人类的心智中是“与生俱来的”。康德认为，我们感知的宇宙是欧几里得式的，因为我们不能把它感知成其他的。按他的意思，宇宙是欧几里得式的，欧几里得真理超越了逻辑分析的范畴。
康德的思想是几何中解析法与综合法分裂的根本源头。康德把解析事实和综合事实区别开来，解析事实的真理可以利用纯逻辑证明，无须借助外界的任何引用，而综合事实可以通过其他方法知道。在康德之前，哲学家假设“其他方法”的意思就是我们与这个世界互动的实际经验。然而，康德否认这个想法。在他的形而上学中，有一些事实不是解析的，也与经验无关。他认为欧几里得几何的事实就属于这种不来自经验的综合事实。这就是古希腊数学与 19 世纪初的“综合”几何之间的联系，不过我省略了这些联系的一些中间阶段。
在这种情况下，19 世纪二三十年代的数学家们不得不接受的奇怪的新几何是革命性的，被很多康德学派的人认为是颠覆性的。那时候，人们对法国大革命和战争的恐怖记忆犹新，所以他们非常重视自己信奉的哲学。他们认为形而上学的颠覆可能会带来社会的颠覆。如果庞斯列的射影几何是 19 世纪几何的第一次变革，那么罗巴切夫斯基和鲍耶的非欧几里得几何就是第二次变革。我们还将看到第三次、第四次、第五次变革随之而来。
拓扑学
布劳威尔不动点定理
布劳威尔的拓扑学中潜在的自相矛盾，是他得到的结果与他的哲学思想格格不入。对于一名普通的数学家来说，这也许并不重要，但是布劳威尔是一位非常有哲学想法的数学家。他痴迷于形而上学思想（更确切地说是反形而上学的思想）以及为数学寻找一个可靠的哲学基础。
为此，他创立了直觉主义学说，试图将所有数学根植于人类进行连续思考的思维活动之中。布劳威尔说，一个数学命题不真，是因为它对应于某种柏拉图式的更高实体，这种更高实体超出了我们的物理感官，而我们的大脑却能以某种方式理解它。它不真，还因为它遵循了一些语言形符的规则，就像布劳威尔时代的逻辑学家和形式主义者（如罗素和希尔伯特）所主张的那样。它为真，是因为我们可以进行一些适当的心理建构，一步一步体验它的正确性。按照布劳威尔的说法，构成数学的材料（非常粗略地说）并不是从超出我们感知的世界里的某个仓库里取出来的，也不仅仅是语言或者在纸上根据规则操作的符号。它是一种思想——一种人类活动，最终建立在我们对时间的直觉上，它是人类本能的一部分。这仅仅是对直觉主义最简单的概括，它催生了大量的文献。了解这种哲学的读者会察觉到康德和尼采对其产生的影响。
然而，我在这里需要交代一下尼伯恩说的一件事：“康德的数学概念早已过时，如果说它和直觉主义者的观点之间有任何密切的联系，就很容易让人产生误解。不过，一个重要的事实是，像康德这样的直觉主义者是在直觉中寻找数学真理之源头，而不是在抽象概念的理性推断中寻找数学真理之源头。”（摘自《数理逻辑和数学基础》第 249 页。）
事实上，不管怎么说，布劳威尔绝不是这条思路仅有的开创者。类似的思想贯穿数学的现代历史，可以追溯到康德之前，至少可以追溯到笛卡儿的时代。我认为，四元数（见第 8 章）的发现者哈密顿可以被看作直觉主义者。1835 年，他在论文《作为纯时间科学的代数》中试图将康德的基于几何学的数学思想建立在“直觉”和“构造”之上，并引进到代数中。
19 世纪后期，利奥波德·克罗内克（1823—1891）强烈反对格奥尔格·康托尔把“实无穷”引入集合论中，你可以称克罗内克为前直觉主义者。克罗内克认为，像这样的不可数集合不属于数学，数学即使没有它们也能发展，它们把无用且不必要的形而上学的包袱带到了数学中，数学应该根植于计数、算法和计算。
近代代数学与哲学
彼时，19 世纪兴起的各种思想即将汇集到一起，形成对几何学的一种新认识，这种新认识以抽象代数为基础，融合了拓扑学、分析学以及关于曲线和曲面的“现代经典”思想，甚至结合了数论。希尔伯特的“啤酒杯”和诺特的环、普吕克的直线和李的群、黎曼的流形和亨泽尔的域，这些思想都汇合在代数几何的统一概念之下。这是 20 世纪的代数学取得的伟大成就之一，但这绝不是唯一的成就，也不是争议最小的成就。
近世代数，它以群、代数、簇、矩阵等一些关键概念为基础。…通过 1930 年的著作《近世代数学》，范德瓦尔登把这种思维方式传递给数学界。通过 1941 年的著作《近世代数概论》，伯克霍夫和麦克莱恩又把它们传授给本科生。从此，“近世代数”一词在数学家们和他们的学生的头脑中有了明确的含义，其本质就是研究代数学的如下方法——完全抽象且精确公理化的用集合论语言表述的方法，与第 11 章中给出的“群”的定义类似。这是抽象化的终点吗？这是乔治·皮科克于 1830 年（见第 10 章）首次提出的思想的终点吗？绝对不是！
范畴论
范畴论背后的一般思路如下。
诸如群、环、域、集合、向量空间和代数这样的代数对象是由元素（例如数、置换、旋转）和合成这些元素的一种或多种方式（例如加法、加法和乘法或置换的合成）构成的。当我们找到把某个对象变换为，或者说“映射”为另一个对象或者它自身的方法时，这些对象的结构往往会清晰地显示出来。（例如，回想一下，在“数学基础知识：向量空间和代数”中，向量空间是如何被映射到它自己的标量域的。同样，回想一下对伽罗瓦理论的概述以及其中的核心问题——将一个解域置换或映射到它本身并且保持系数域不变。）
尽管它们是不同种类的对象，映射也有不同的可能，但是在所有情况下，贯穿元素、合成方式和变换的结构和方法非常相似。例如，考虑环与理想的关系（见第 12 章）以及群与正规子群的关系（见第 11 章），这两种关系之间有相似之处。那么，我们是否可以提炼出某些一般原则，或者说代数结构的一种一般理论，使得所有这些对象以及我们未来可能提出的其他对象都可以统一在一组超级公理，或者说一种普遍代数之下呢？
术语“普遍代数”（或译为“泛代数”）有一段有趣的历史，至少可以追溯到阿尔弗雷德·诺思·怀特海（1861—1947）在 1898 年出版的一本书的书名，怀特海是英国数学家、哲学家，他与罗素合著了《数学原理》。埃米·诺特也使用了这个术语。不过，我在这里只是偶尔提示性地使用这个术语，与怀特海、诺特或者其他任何人的用法不完全一致。
艾伦伯格和麦克莱恩给出了答案：是的，这是可以做到的。为群或向量空间这样的数学对象组成的集合配备上对象之间一些“性质良好”的映射族，这就是一个范畴，其中的映射被称为态射 。现在，你还可以（小心地）再前进一步，建立一个范畴（连同其中所有的态射）到另一个范畴的超映射。这种超映射被称为一个函子。
…在如此高的抽象程度上可以得到有用的数学吗？这取决于你向谁问这样的问题。直到 2006 年，范畴论仍然存在争议。当你提到范畴论时，许多专业数学家（我认为尤其是英语国家的专业数学家）都会皱眉或摇头。只有少数本科课程讲授范畴论。在迈克尔·阿廷于 1991 年出版的 600 多页的本科权威教材《代数》中，“范畴”“态射”和“函子”这几个词从未出现过。
在 20 世纪 60 年代中期，当我是一名数学系本科生时，我最常听到的观点是，尽管范畴论可能是组织现有知识的一种便捷方式，但是它太过抽象，无法产生任何新的理解（不过我需要说明，尽管范畴论起源于美国，但英国人怀疑它是从欧洲大陆传来的。）
无论如何，麦克莱恩非常喜欢他与艾伦伯格共同创造的理论。到了 20 世纪 60 年代中期，就在《近世代数概论》修订版问世之时，他重新改写了整本书，使之向范畴论方向倾斜。其他人也追随麦克莱恩，如果范畴论不能被普遍接受，那么它当然也不能作为本科生的代数课程讲授，它在数学界中有众多拥趸。追随者们充满信心地在范畴论中打趣。威廉·劳维尔（1937— ）在一本有关范畴在集合论中的应用的书的开头说：“首先，我们剥夺了对象的几乎所有内容……”罗宾·甘迪（1919—1995）在《新方塔纳现代思想辞典》中写道：“那些喜欢研究特殊、具体问题的人喜欢把范畴论说成‘泛化抽象废话’。”
范畴论的推动者提出了大量断言，其中一些超出了数学领域，进入了哲学领域。事实上，范畴论从一开始就带有一些自觉的哲学意味。“范畴”一词取自亚里士多德和康德，而“函子”是从德国哲学家鲁道夫·卡尔纳普（1891—1970）那里借用的，卡尔纳普在他 1934 年的著作《语言的逻辑句法》中创造了这个词。
范畴论的哲学内涵超出了本书的范围，不过我将在本章结尾对它们做一个泛泛的评述。
代数学与科学
人们常说，一个国家的书面语与人们日常使用的口语时近时远。英语书面语在乔叟时代比较接近于口语，到了 18 世纪早期的拉丁文学全盛时期，则与口语相去甚远，而到了现代又与口语更加相近。类似地，代数与科学的现实世界也时近时远。
正如我们所看到的，最早的代数起源于度量、计时和土地测量等实际问题。（尽管这并非很重要，但是我得以在本书的第一章和最后一章都很自然地提到了土地测量仍然是一种有趣的对称。）丢番图和中世纪阿拉伯数学家们有时为了他们自己的内在兴趣而脱离实际问题去研究代数问题，从而增加了抽象层次。这种研究态度延续到文艺复兴时期和近世，那时人们对三次方程和四次方程的纯代数研究产生了极大的兴趣，并最终得到了一般解。
从 1600 年前后几十年间现代字符体系的发明开始，到 18 世纪晚期攻克一般五次方程，新的字母符号体系被广泛用于解决各个领域中的实际问题：土木和军事工程、天文学和航海学、会计学以及统计学的初级阶段。自起源于美索不达米亚以来，代数在这段时期可能更贴近现实世界。 然而，19 世纪纯代数的发展如此丰富多彩，以至于这门学科超越了任何实际应用，几乎独处于一个完全无用的领域。即使实用主义者从代数学中获得灵感，他们也表现得漫不经心、囫囵吞枣。我在第 8 章中已经提到了吉布斯和亥维赛对哈密顿珍爱的四元数的轻视。到 19 世纪末，代数学已经把科学远远抛到后面。如果你在 1893 年向年轻的希尔伯特请教零点定理的实际应用，他一定会大笑起来。
在 20 世纪，尽管代数学的抽象化层次呈现出越来越高的趋势，但是代数与现实应用之间的差距在某种程度上开始缩小。19 世纪发现的所有新的数学对象都有了一些科学应用，可能某些数学对象仅在纯理论研究中得到应用。尤金·维格纳（1902—1995）在他 1960 年的里程碑式的论文《数学在自然科学中不可思议的有效性》中说，这是一种“奇迹”。不知怎么地，这些纯粹思考的产物、这些群和矩阵、这些域和流形，确实可以描述现实世界中的真实事物或真实过程。这篇论文的中文译文可见《数学译林》2005 年第 1 期。——译者注
代数学的“不可思议的有效性”随处可见。例如，群在编码和密码理论中非常重要，矩阵现在是经济分析的基础，代数拓扑中的一些概念出现在从发电系统到计算机芯片设计的各个领域。根据范畴论的宣传者所述，甚至连范畴论也在计算机语言设计中创造着奇迹，尽管我自己无法判断这个断言的价值。
然而，毫无疑问，就代数学而言，维格纳所说的“不可思议的有效性”的最引人注目的例证出现在现代物理学中。20 世纪物理学发生的两次重大的革命当然是相对论和量子理论。两者都建立在 19 世纪的纯代数概念的基础之上。
在狭义相对论中，通过洛伦兹变换，一个参考系下的对时间和空间的测量可以被“转化”成另一个参考系（当然，相对于第一个参考系匀速运动）下的对时间和空间的测量。这些变换可以用某个四维空间中的坐标系旋转来建模，换句话说，其模型就是一个李群。
在广义相对论中，因物质和能量的存在，这个四维时空被扭曲了。为了恰当地描述它，我们必须依靠张量分析，它是意大利代数几何学家根据哈密顿、黎曼和格拉斯曼的早期工作而发展起来的。
1925 年春天，当年轻的物理学家维尔纳·海森堡（1901—1976）研究一个原子从一个量子态“跃迁”到另一个量子态时放出的辐射频率时，他发现自己正在观察一个很大的正方形数阵，这个数阵中第行、第列的数字是这个量子从态跃迁到态的概率。这种情况下的逻辑推理需要考虑把这些数阵乘起来，并给出这样做的唯一的恰当方法，但是当他试图做这样的乘法运算时，他发现乘法是不可交换的。数阵乘以数阵得到一个结果，而数阵乘以数阵则得到不同的结果。这究竟是怎么一回事？好在海森堡是德国哥廷根大学的研究助理，所以他身边有希尔伯特和诺特来为他详细解释矩阵代数的原理。
到了 20 世纪 60 年代早期，物理学家发现了一类令人困惑的核粒子——强子。美国加利福尼亚理工学院的年轻物理学家默里·盖尔曼（1929—2019）注意到强子的特性，尽管它们不遵从任何明显的线性模式，但是它们在另一个李群的背景下是有意义的，这个李群就是我们在研究二维复向量空间中的旋转时出现的群。通过分析数据，盖尔曼发现最初的想法还是太肤浅了。三维复向量空间中的等价李群能够解释得更清楚。然而，它需要尚未被观察到的粒子的存在性。盖尔曼发表了他的研究结果，实验人员启动了粒子对撞机，预测的粒子被及时地观测到了。盖尔曼用于组织强子的那个群（在专业术语中叫作 3 阶特殊酉群）和洛伦兹群都可以用矩阵来刻画，不过矩阵中的项都是复数。
现在，在 21 世纪初，更奇怪、更大胆的物理学理论正在流行。如果没有哈密顿、格拉斯曼、凯莱、西尔维斯特、希尔伯特和诺特的工作，人们就不可能构想出这些理论。其中最大胆的一些理论源自试图统一 20 世纪两个伟大发现——相对论和量子力学，这些理论包括：弦理论、超对称弦理论、M 理论和圈量子引力论，等等。所有这些理论都至少从 20 世纪的代数或代数几何中汲取了一些灵感。
因此，我们似乎有理由认为，20 世纪以抽象程度越来越高为特征的代数学的抽象程度可能不会再提高，或者至少暂时停止提高。同时，代数学家则忙于回答物理学家提出的难题，而且也明确了像范畴论这样的超抽象方法的适当地位。
还有这样的可能，代数学无法作为一门独立的数学学科继续存在。20 世纪是一个统一的时代，代数学扩张到数学的其他领域，这些领域也反过来影响它。如果我从事高维流形上的函数族的研究，这些族具有群结构，那么我从事的是分析学（函数）、拓扑学（流形）还是代数学（群）研究呢？
2000 年 6 月，伟大的代数学家阿蒂亚爵士在加拿大多伦多的一场讲座中说，几何和代数是“数学的两个形式支柱”，并认为它们分属我们的大脑的不同区域。
几何学讲的是空间……如果我面对这间房间里的听众，我可以在一秒内或者是一微秒内看到很多，接收到大量的信息……在另一方面，代数本质上涉及的是时间。无论现在做的是哪一类代数，都是一连串的运算被一个接着一个罗列出来，这里“一个接着一个”的意思是我们必须有时间的概念。在一个静态的宇宙中，我们无法想象代数，但几何的本质是静态的。